国民健康保険税は月割で計算するため、月の途中で加入した場合でも国民健康保険税は加入した月からかかることになります（月末時点で加入している保険の保険税（料）がかかります）。ですので、二重払いにはなりません。
　※社会保険料は通常、前月分の保険料が給与から差し引かれています。（例：10月分の保険料→11月の給与から天引き）